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三平均数中数与众数三者之间的关系（第1页）

三、平均数、中数与众数三者之间的关系

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在一个正态分布中，平均数、中数、众数三者相等，因此在数轴上三个集中量完全重合，在描述这种次数分布时，只需报告平均数即行。

在正偏态分布中M＞Md＞Mo，在负偏态分布中M＜Md＜Mo。

见图3-3。

图3-3偏态分布中三个集中量的关系图示

在偏态分布中，平均数永远位于尾端。

中数位于把分布下的面积分成两等份的点值上。

它在一边的数据个数等于在它另一边的数据个数。

因此在描述偏态分布时，应报告平均数与中数。

一般偏态情况下，Md离平均数较近、而距众数较远。

皮尔逊的研究发现，它们三者之间存在着这样的经验关系：Mo=3Md-2M。

在一组数据分布中，只有平均数乘以数据总个数与各数据的总和相等；只有平均数与各数据之差（离均差）的总和为零，中数、众数都不能满足这一点。

也只有各个变量与平均数之差的平方和为最小，即每个数据与任一常数包括中数或众数之差的平方和都大于每个数据与平均数之差的平方和，这就是平均数的“最小平方”

原理。

这一点也决定了平均数是较Md与Mo都应用广泛的一个集中量数。

平均数、众数、中数作为集中量数，各自描述的典型情况不同。

图3-4中描述的是2，3，5，6，7，10，10，14，15一列数据的三种集中量的情况，图中每一个方格代表一个相同单位的数据。

图3-4平均数、中数、众数关系示意图

在图3-4中，平均数为一个平衡点（balant），是一组数据的重心（terofgravity）。

它使数轴保持平衡，即支点两侧的力矩是相等的。

如上图中，平均数等于8，支点左侧为小于平均数的五个数值，从左到右这五个数值与平均数的离均差之和为（-6）×1+（-5）×1+（-3）×1+（-2）×1+（-1）×1=-17，支点右侧为大于平均数的四个数值，从右向左四个数值与平均数的离均差之和为7×1+6×1+2×2=17。

中数只使其两侧的数据个数相同，在这个例子中中数两侧各包含4个数。

众数是指次数出现最多，即重量较大的那个数据，本例中它的值为10，在数列中出现了两次。

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